王金战：因数学之美，求美的数学
王金战
能把数学课讲得妙趣横生的超级教师，全国十大名牌教师，曾经用爱心和智慧创造了一系列带班奇迹，在家庭教育领域也有独到见解。
先讲一个我亲身经历的故事。
有年秋天，我和同学到一个度假村旅游。当时，某师范学院美术系的学生正好在这里写生。晚饭后，我见有六个大学生围在一个圆桌前闲聊，就过去跟她们搭话。
她们问我是干什么的，我说我是某中学的老师，听说是中学老师，大学生们感到有点亲切。
聊了一会，又问我教什么课，我没有直接回答。凭经验，艺术类的学生一般都不喜欢数学，我也想验证一下我的想法，就说：“我教的这门课你们可能不大喜欢。”没想到她们六个人竟异口同声地脱口而出：“数学！”
我狂晕！她们连想都没想，就准确地定格到数学上了。幸好我有心理准备，否则我真要当场晕过去了。
现实中，不喜欢数学的又何止是艺术类的学生。
不喜欢数学不是学生的错，而是我们的教育出现了问题。从社会到学校，从教师到家长，从考试制度到教学模式，无处不充满着考试的压力。当一门课程成了考试升学的拐杖时，还会有多少人真正喜欢呢？喜欢的学科不敢全力去学，不喜欢的学科却不敢丝毫懈怠，一切都不是学生说了算，结果就是兴趣大大丧失。
工作30年来，我一直在教数学，教初中、教高中、教竞赛，越教越觉得数学好玩、好学，越教越觉得数学很美、很酷，代数里的运算、变形，到处透着智慧的光芒；几何里各种各样的图形真是美不胜收，严谨而富于思考的推理证明令人叹为观止；三角函数里变换无穷的公式，虽然有点令人望而生畏，可是其万变不离其宗的技巧、优美的函数曲线，又让我爱不释手……以致于我常常被数学的波澜壮阔之势、高瞻远瞩之能、对称和谐之美、茅塞顿开之境所陶醉。
每接一届学生，前半个月我一般不讲课本，而是以“大话数学”为题来挖掘数学的内涵，提炼数学的规律，揭示数学的特点，深化数学的应用，张扬数学的魅力，直把学生讲得神情激昂、美感荡漾，也就再没有对数学的为难和恐惧，有的只是学好数学的信心和激情。所以我虽然不用布置太多的作业，他们却能轻松学好数学。
比如先给学生提出一些有趣的问题：
1.欣赏一幅挂在墙上的画，怎样看最清晰？
2.踢足球，如何选择最佳命中角度？
还有课本中的习题：如图，树顶A离地面a m。树上另一点B离地面b m，在离地面的C处看此树，离此树多远时视角最大？
其实从这些身边的常见现象，可以提炼出几何学史上一个著名的米勒问题：如图所示，设点M,N是锐角∠AOB的一边OA上的两点，试在OB边上找一点P，使得∠MPN最大。
米勒问题提出的背景是1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？在米勒的家乡哥尼斯堡，这个问题称为雷奇奥莫塔努斯极大值问题，并作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目。
简单的生活现象，课本中的习题，居然能够上升到数学史上的经典发现，学生们对自己所学的数学的惯性认识一下就得到了冲击，随后我再对米勒问题给出简证，并延伸出相关变形的高考试题，甚至能够对这些试题用不同方法进行解答。这一连串动作下来，少年们想不被征服都不行。看到数学这些迷人的魅力和知识间的起承转合，大家对数学的好感和信心也会得到很大提升。
不少学生和家长问我：“听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的学生大多数问题就出在这里：
(1)只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度；
(2)有的学生浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了；
(3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用；
(4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法；
另外，还有些同学因为信心不足，认为数学很难，所以干脆不听，这样就失去了入门的过程，因此更没法深入。
数学的学习，应当在掌握基础知识、基本技能的基础上体会数学的基本思想，而掌握了数学思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式、理论，演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力，这正是数学中的以不变应万变。因此，我们最重要的并不是教会学生解某种题，而是重在方法和思维的点拨。
曾经有个叫袁宵亮的学生向我请教一道一元二次方程试题： 设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3＝0的两个根，2x1(x22+5x2－3)+a＝2，则a＝（ ）。
他感到求解有困难：“老师，这里x1，x2能求，但求出来不是有理数根！走这条道路显然运算量会很大，且要花费大量时间，我觉得这样的思路好像行不通？”
很显然，他在常规解法“先求方程的根，再代入求值”思路上发生了困难，能够知难而退，懂得求助，我首先肯定了他的质疑精神，为了能一步步引导他自己发现思路，我先问：
“你认真观察2x1(x22+5x2－3)+a＝2的特点，有何发现？”
他观察了一会，“小括号内跟x2代入方程得到的x22+4x2-3＝0有点相似，但一次项系数不同。”
“很好，能把x22+5x2－3改写一下吗？”
他想了一下，“x22+5x2－3＝x22+4x2+x2 -3”，说到这儿，突然眼前一亮，说“有了，有x22+4x2-3＝0，变形得x22+4x2＝3，代入2x1(x22+4x2+x2 -3) +a ＝2，于是2x1·x2+a＝2，再结合根与系数的关系，代入求出应该能求出a了。”
我向他竖起大拇指，“一下子走到头了，祝贺！写出来我看看。”
他迅速表达如下：
变形x22+5x2－3＝x22+4x2 -3+x2 ，
由一元二次方程的定义有x22+4x2 -3＝0，变形得x22+4x2＝3，
代入2x1(x22+4x2+x2-3) +a ＝2，
于是2x1·x2+a＝2，
由根与系数的关系，x1·x2＝-3，代入求出a＝8。
看着他长嘘一口气，一种解题的愉悦流露在面容。我认真看了他演算的过程，暗示他过程中仍然有“思维回路”值得优化，他疑惑的观察了一会，重新写出比较精简的过程如下：
变形x22+5x2－3＝x22+4x2 -3+x2 ，
由一元二次方程定义有x22+4x2-3＝0，
代入2x1(x22+4x2-3+x2) +a ＝2，
所以 2x1·x2+a＝2，
再由根与系数的关系，x1·x2＝-3，
即a＝8。
我随即在他“完美”的解答上点评：这里有目的地变形，特别是对“x22+4x2 -3＝0”的整体认识，使得问题获得突破。
看着他满意而兴奋地离去，我暗自庆幸：授人以鱼，不如授人以渔！
我酷爱京剧艺术，京剧《华容道》更为喜欢，久听不厌。该剧取材于《三国演义》第五十回 “诸葛亮智算华容 关云长义释曹操”。曹操兵临赤壁，为周瑜施火攻所败，全军覆没，狼狈北逃。曹操北逃第一关“乌林”。曹操笑周郎计不高。这头一笑，叫赵云杀的好跑。
北逃第二关“葫芦口”时，曹操“心中实服了妖道孔明”，但有了第二笑，被张飞赶了一个魂魄飘。无奈只能赶往第三关“华容道”。
华容道，无法过关。诸葛亮安排关云长把守，云长重于信义，曹操苦苦哀求并陈以往日款待之义，云长因见其怜，果为所动，慨然允诺而释之，曹操始得逃脱。
京剧《华容道》充分展示了诸葛亮的深谋远虑，这里至少有多个层次的深度，一是曹操北逃的三关都做到精准的研判，二是第三关“华容道”安排了关云长，放曹操北逃，这是因为赤壁之战已经重创了曹操，这个时候把他放走符合长期利益，安排关羽在华容道就是因为诸葛亮知道关羽为人重义，肯定不会杀对他有未报大恩的曹操，换了赵云或者张飞就不会这样了。这是符合当初“隆中对”之长远规划的。
这个京剧的意境我在解题教学时曾多次跟学生提过，在很多解题方案的优化上都有体现。下面是一节“勾股定理逆定理”数学活动课上，对一个活动方案“怎样判定石碑面上的角是直角”的优化：
公园里有一块刻有花纹的石碑，有一个面形似长方形(如图1)，但不知道这个面上的角是不是直角。你能想出办法来证明∠C是不是直角吗？
志刚：这好办，用量角器量一下不就得了。
老师：这个办法很好，如果利用本节所学的知识你还能想出其他的方法吗?
慧敏：老师，我想起来了，可以用刚学的三边平方的关系来判定。
老师：说说你具体的做法。
慧敏：如图2，我可以先量出BC 和CD的长，再量出对角线BD的长，然后再计算一下BC的平方与CD的平方和是否等于BD的平方，若相等，那么△BCD就是直角三角形，∠C就是直角；若不相等，那么△BCD就不是直角三角形，∠C就不是直角。
老师：你的想法很好，能运用本节所学的知识解决实际问题。
智强(急忙举手)：老师，我觉得这种方法并不可行，也不切合实际。假如这块石碑很高很大，要测量这三条边的长会很困难。我有更好的方法。
老师：说说你的方法。
智强：我可以在BC、CD上分别取两条较短的线段CE和CF（如图3），再连接EF，然后分别测量它们的长，再利用勾股定理的逆定理就可以进行判断。这样做就减少了计算量，简化了计算。
老师： 你的想法比上位同学的想法更好，有其可行性、可操作性。但是，当你测量的边长是小数时，计算起来不也是很麻烦吗？大家能不能把他的方法再改进一下？
（大家陷入思考中……）
灵芝：老师，我有更好的办法。对CE、CF的长取整数可以了。我们刚刚学习了“勾股数”，我们可以用最简单的一组“勾股数”来解决这个问题。
老师： 你说说看。
灵芝：如图4 ，我可以在BC上取一点E，使CE ＝3㎝，在CD上取一点F，使CF＝4㎝，因为3、4、5是一组勾股数，然后我只要测量EF的长是否等于5㎝就行了。
老师：大家说，他的方法好不好？
同学们： 好！
老师(总结)：我们学数学是为了做数学，用数学的知识来解决身边的实际问题。刚才大家在解决这个问题时采用了不同的方案，都实现了问题的解决，但这里涉及的是最优化的问题，很显然，随着大家不断探究和深入，灵芝同学最后一种方案显然最优。
我们不得不承认，数学作为一门必修的课程是必然的，各国都是如此，因为它既是人类文明的重要标志，还是人们借以训练多种特殊技能，如计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力的最主要工具。
我一直有个愿望，就是从数学全局入手，用深入浅出的语言把数学讲的浅显易懂，用诗情画意的语言把数学讲的美轮美奂，用风趣幽默的语言把数学讲的生动有趣。这是一门很美的学科，一旦找到切入点，孩子们就会感到数学并非那么可怕，反倒能在其中找到无限乐趣。
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责任编辑|邹雪平
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